Geraden­funktion / lineare Funktion

Geradenfunktionen sind grundlegende mathematische Konzepte, die auch in der Medizin eine wichtige Rolle spielen. Ob bei der Analyse von linearen Zusammenhängen in biostatistischen Daten oder der Berechnung von Dosierungen – das Verständnis von Geradenfunktionen ist essentiell. Für den MedAT ist das Wissen über lineare Funktionen ebenfalls unverzichtbar.

Grundlegende Begriffe

Definition: Eine Geradenfunktion, auch lineare Funktion genannt, hat die allgemeine Form: $f(x) = kx + d$. Hierbei gibt $k$ die Steigung und $d$ die Höhe an, bei der die Funktion die y-Achse schneidet.

Formeln:

• Steigung: Die Steigung $k$ beschreibt, wie steil die Gerade verläuft. Sie wird berechnet als $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$​, also die Änderung von y geteilt durch die Änderung von $x$. 
• Aufstellen der Geradenfunktion: Aus zwei Punkten $\begin{pmatrix} x_1 \; | \; y_1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} x_2 \; | \; y_2 \end{pmatrix}$ lässt sich die Steigung $k$ berechnen und die Gleichung der Geraden aufstellen.

Beispiel (mit Rechenweg)

Beispiel: Betrachten wir zwei Punkte $A(1 \; | \; 2)$ und $B(3 \; | \; 6)$. Bitte ermittle die Steigung $k$, den y-Achsenschnittpunkt $d$ und stelle anschließend die Gleichung der Geradenfunktion auf. 

1. Steigung berechnen:

$k = \frac{y_2 \; – \; y_1}{x_2 \; – \; x_1}$ $= \frac{6 \; – \; 2}{3 \; – \; 1}$ $= \frac{4}{2}$ $= 2$

2. Geradenfunktion aufstellen: $f(x) = 2x + d$

Um $d$ zu finden, setzen wir einen der Punkte ein, z.B.

$2 = 2 \times 1 + d$

$2 = 2 + d$ $\quad \Rightarrow \quad d = 0$

Die Geradenfunktion hat also die Form $f(x) = 2x$.

MedAT-Beispielfrage

Welche Aussage beschreibt korrekt die Steigung $k$ einer Geradenfunktion?

A) $k$ ist das Verhältnis der Änderung der y-Werte zur Änderung der x-Werte.
B) $k$ gibt an, an welchem Punkt die Gerade die y-Achse schneidet.
C) $k$ ist immer eine konstante Zahl unabhängig von den gewählten Punkten.
D) $k$ beschreibt den Punkt, an dem die Gerade die x-Achse schneidet.
E) $k$ entspricht der Veränderung der x-Werte durch die y-Werte.

Die Antwort findest du im Video.

Unser Mathe-Insider-Tipp für deinen MedAT

Insider-Tipp von Benjamin (MasterClass-Tutor)

Um Geradenfunktionen beim MedAT schnell lösen zu können, ist es wichtig, die Steigung und den Schnittpunkt mit der y-Achse sicher zu bestimmen. Übe regelmäßig das Aufstellen von Geraden aus zwei Punkten und das Ablesen der Steigung aus der Funktionsgleichung. Ein praktischer Tipp ist es, stets zuerst die Steigung zu berechnen, da dies die Grundlage für das weitere Vorgehen bildet. Für…