Skalar­produkt

Das Skalarprodukt ist ein grundlegendes Konzept in der Vektorrechnung und spielt eine wichtige Rolle bei der Berechnung von Vektor-Winkeln. Beim MedAT ist es hier vor allem wichtig, grundlegende Zusammenhänge zu verstehen, auf die wir nun eingehen.

Grundlegende Begriffe

Definition: Das Skalarprodukt, auch bekannt als inneres Produkt, ist eine Operation, die zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ zu einer Zahl (einem Skalar) kombiniert.

Formel: Für zwei Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ in zwei Dimensionen $\mathbb{R}^2$ ist das Skalarprodukt definiert als: $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Tipp: Das Skalarprodukt ist null, wenn die Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander stehen.

Beispiel (mit Rechenweg)

Beispiel: Gegeben seien die Vektoren Gegeben seien die Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$. Es ist bekannt, dass diese Vektoren einen Winkel von $90^\circ$ einschließen. Berechne das Skalarprodukt

• Berechnung des Skalarprodukts: $\vec{a} \cdot \vec{b}$ $= 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1$ $= -2 + 2 = 0$

MedAT-Beispielfrage

Was bedeutet es, wenn das Skalarprodukt von zwei Vektoren gleich Null ist?

A) Die Vektoren haben die gleiche Richtung.
B) Die Vektoren sind orthogonal zueinander.
C) Die Vektoren haben unterschiedliche Längen.
D) Die Vektoren sind parallel zueinander.
E) Die Vektoren haben eine Winkelgröße von $180^\circ$ zueinander.

Die Antwort findest du im Video.

Unser Mathe-Insider-Tipp für deinen MedAT

Insider-Tipp von Benjamin (MasterClass-Tutor)

Regelmäßiges Üben hilft, die Anwendung der Formeln und Konzepte zu festigen. Achte besonders darauf, wie das Skalarprodukt genutzt wird, um Winkel zu berechnen und orthogonale Vektoren zu identifizieren. Dies spart beim MedAT wertvolle Zeit! Für eine gezielte Vorbereitung und weitere nützliche Tipps empfehlen wir dir unsere E-Learning-Plattform MEDBREAKER ONE. Dort findest du umfangreiche…